数式の開始・終了時にPERIWOを書きたい
やりたいこと
$2+3=5$と書いたら、出力が$PERIWO2+3=5PERIWO$になるようにすることが目標です。
obeylines
ソースコード中で改行したら出力の方でも改行するようにするコマンド\obeylines（および有志の方がそれを改良した\xobeylines）を参考にします。
これは改行文字のカテゴリーコードを変えてアクティブ文字にし、\defを使って改行文字に対して通常の制御綴のように定義する、という方法によって実現しています。
※先にこっちを見た方が理解がしやすいかもしれません。shukutoiya.hateblo.jp
ネックとなるポイント
数式開始時点と終了時点で違うことをやっているので、$を単純に定義するだけでは実装できません。なので違う文字を挟んで解決することにします。
実装１
{ \catcode`\$=\active \catcode`\@=3 \gdef\dolltope{\catcode`\$=\active \def ${\ifmmode \mathcal{PERIWO}@\else @\mathcal{PERIWO}\fi}} }
入力：
\dolltope $2+3=5$ $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{$x$は有理数} \\ 0 & \text{$x$は無理数}\end{cases}$
出力：
（最初の{は、カテゴリーコードの変更を局所的にするためです。）
@に（通常の）$と同じ機能を与えていることがポイントです。
数式モード中に$を読み込んだ時には\mathcal{PERIWO}@を、そうでないときは@\mathcal{PERIWO}を返すように設定することによって実装しています。
実装２
@を挟むのはやはり行儀が悪い（いまさら何をという感じもしますが）ので、$のままで解決したいです。
{ \catcode`\$=\active \gdef\dolltoper{\catcode`\$=\active \def ${\ifmmode \mathcal{PERIWO}\bgroup \catcode`\$=3 $\egroup \else \bgroup \catcode`\$=3 $\egroup\mathcal{PERIWO}\fi}} }
入力：
\dolltoper $2+3=5$ $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{$x$は有理数} \\ 0 & \text{$x$は無理数}\end{cases}$
出力：エラー
! TeX capacity exceeded, sorry [input stack size=10000]. $...ode `\$=3 $\egroup \else \bgroup \catcode `\$= 3 $\egroup \mathcal {PERIW...
無限ループに入っているのだと思いますが、何が起こっているかはよくわかりません。解析の際にカテゴリーコードの変更がどこで反映されるかあたりが謎なんでしょうか。
実装３
一方、これは成功します。
{ \gdef\periwodollar{$} \catcode`\$=\active \gdef\dolltoperi{\catcode`\$=\active \def ${\ifmmode \mathcal{PERIWO}\periwodollar \else \periwodollar\mathcal{PERIWO}\fi}} }
入力：
\dolltoperi $2+3=5$ $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{$x$は有理数} \\ 0 & \text{$x$は無理数}\end{cases}$
出力：
\periwodollarは「カテゴリーコード3の$」と定義されている、つまり\defは中身のカテゴリーコードを確定させる、と現時点では考えていますが、この認識が正しいかどうかはよくわかりません。
